Prezzi E Copertura Di Forex Plain Vanilla Options

Vanilla Opzione Che cosa è una opzione Vanilla Un'opzione vaniglia è uno strumento finanziario che conferisce al titolare il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare o vendere un'attività sottostante, la sicurezza o la valuta ad un prezzo prestabilito entro un determinato periodo di tempo. Un'opzione di vaniglia è una chiamata normale o opzione put che non ha caratteristiche particolari o inusuali. Può essere per dimensioni e scadenze standardizzati e scambiati su uno scambio, come il Chicago Board Options Exchange o su misura e scambiati over the counter. SMONTAGGIO vaniglia individui di opzione, le imprese e gli investitori istituzionali possono sfruttare la versatilità di opzioni per la progettazione di un investimento che meglio soddisfa le loro necessità di coprire una esposizione o di speculare sul movimento del prezzo di uno strumento finanziario. Se l'opzione di vaniglia non è la giusta misura, possono esplorare le opzioni esotiche come opzioni con barriera. opzioni asiatici e opzioni digitali. opzioni esotiche hanno caratteristiche più complesse e sono generalmente negoziati over the counter possono essere combinate in strutture complesse per ridurre il costo netto o aumentare la leva finanziaria. Call e put Ci sono due tipi di opzioni vanilla: call e put. Il proprietario di una chiamata ha il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare lo strumento sottostante al prezzo di esercizio il proprietario di una put ha il diritto, ma non l'obbligo, di vendere lo strumento al prezzo d'esercizio. Il venditore dell'opzione è a volte indicato come il suo scrittore che vende l'opzione di creare un obbligo di acquistare o vendere lo strumento se l'opzione viene esercitata dal suo proprietario. Ogni opzione ha un prezzo di esercizio può essere pensato come il suo obiettivo. Se il prezzo di esercizio è migliore rispetto al prezzo di mercato alla scadenza, l'opzione è considerata in denaro e può essere esercitato dal suo proprietario. Un'opzione stile europeo richiede l'opzione di essere in denaro alla data di scadenza di un opzione di stile americano può essere esercitato se è in denaro entro la data di scadenza. Il premio è il prezzo pagato per possedere l'opzione. La dimensione del premio si basa su come chiudere il colpo è al prezzo di mercato a termine corrente per la data di scadenza, la volatilità del mercato e la maturità opzioni. Maggiore volatilità e una scadenza più lunga aumentare il premio. Un'opzione acquista valore intrinseco come il prezzo di mercato si avvicina o supera il prezzo di esercizio. Il proprietario della opzione può vendere prima della scadenza per il suo valore intrinseco. Opzioni esotiche Ci sono molti tipi di opzioni esotiche. opzioni barriera includono un livello che, se raggiunto sul mercato prima della scadenza, causa la possibilità di cominciare ad esistere o cessare di esistere. opzioni digitale a pagamento al proprietario se un certo livello di prezzo viene colpito. Un opzioni payoff asiatico dipende dal prezzo medio scambiato dello strumento sottostante durante la vita dell'opzione. strutture Opzioni combinano opzioni vanilla e esotiche per creare su misura Opzioni outcomes. Currency spiegato Aggiornato: 14 Luglio 2016 alle 08:48 Un'opzione moneta è un tipo di valuta estera contratto derivato che conferisce al titolare il diritto, ma non il l'obbligo, di impegnarsi in una transazione forex. Per ulteriori informazioni su forex trading, forex visitare per i manichini qui. In generale, l'acquisto di una tale opzione permetterà un commerciante o hedger di eleggere per l'acquisto di una valuta contro un'altra in una quantità specificata da o in una data specifica per un costo anteriore up. Questo diritto viene concesso dal venditore opzioni in cambio di un costo anteriore fino conosciuto come il premio di opzioni. In termini di volume degli scambi, le opzioni forex attualmente forniscono circa il 5 e il 10 del fatturato totale visto nel mercato dei cambi. Opzione valuta Terminologia Piuttosto gergo specifico viene utilizzato nel mercato del forex per specificare e si riferiscono a un termini di opzioni su divise. Alcuni dei termini più comuni opzioni relative sono definiti qui di seguito: Esercizio - L'atto eseguito da la possibilità all'acquirente di notificare il venditore che intendono fornire alle opzioni sottostanti contratto forex. Data di scadenza - L'ultima data in cui l'opzione può essere esercitata. Data di consegna - La data in cui saranno scambiate le valute se l'opzione viene esercitata. Opzione Call - conferisce il diritto di acquistare una valuta. Opzione Put - conferisce il diritto di vendere una valuta. Premium - Il costo anteriore fino coinvolti in acquisto di un'opzione. Prezzo di Esercizio - Il tasso al quale saranno scambiate le valute se l'opzione viene esercitata. Opzione valuta Pricing Fattori Il prezzo delle opzioni su valuta sono determinati dalle sue specifiche di base del prezzo di esercizio, la data di scadenza, stile e se si tratta di una chiamata o mettere su cui valute. Inoltre, un valore opzioni dipende anche da diversi fattori di mercato determinato. In particolare, tali parametri guidato mercato sono: Le tariffe di deposito posto tasso interbancario prevalente per ciascuna delle monete L'attuale livello di volatilità implicita per la data di scadenza volatilità implicita nelle opzioni valutarie La quantità volatilità implicita è unico per i mercati di opzioni ed è legato alla standard annualizzata deviazione dei tassi di cambio attesi dal mercato durante la vita opzioni. market maker Opzione stimano questo fattore chiave di prezzi e di solito esprimono in termini percentuali, l'acquisto di opzioni quando la volatilità è bassa e la vendita di opzioni quando la volatilità è alta. Opzione Commercio di valuta Esempio Quando si fa trading opzioni su valute, è necessario prima di tenere a mente che il tempo è davvero denaro e che ogni giorno si possiede un'opzione probabilmente vi costerà in termini di tempo di decadimento. Inoltre, questo tempo di decadimento è più grande e, quindi, presenta più di un problema con le opzioni brevi datati rispetto alle opzioni a lunga scadenza. In termini di esempio, si consideri la situazione di un commerciante del forex tecnica che osserva un triangolo simmetrico sui grafici giornalieri in USDJPY. Il triangolo è stato anche formando per diverse settimane, con una struttura interna d'onda ben definita che dà il commerciante considerevole certezza che un breakout è imminente, anche se non sono sicuri in quale direzione si verificherà. Inoltre, la volatilità - un elemento chiave che interessano la fissazione dei prezzi delle opzioni su valute - in USDJPY è diminuita durante il periodo di consolidamento. Questo lascia opzioni su valute USDJPY relativamente poco costoso per l'acquisto. Per utilizzare le opzioni di valuta per trarre vantaggio da questa situazione, il professionista può contemporaneamente l'acquisto di un'opzione Put USD CallJPY con un prezzo di esercizio posto a livello della parte superiore linea di tendenza discendente modelli a triangolo, così come un USD opzione PutJPY chiamata ha colpito a livello della triangoli inferiori linea di tendenza ascendente. In questo modo, quando si verifica la rottura e la volatilità in USDJPY risorge, il commerciante può vendere l'opzione che non beneficia di ulteriori mosse in direzione del breakout mentre si tiene l'altra opzione di beneficiare più lontano dalla mossa misurata atteso del grafico modello. Usi di opzioni su valute Opzioni su valute hanno goduto di una crescente reputazione come strumenti utili per hedgers per gestire o assicurare contro il rischio di cambio. Ad esempio, una società statunitense che cercano di proteggersi da un possibile afflusso di sterline a causa di una vendita in attesa di una controllata U. K. potrebbe comprare una sterlina putU. S. chiamata Dollaro. Opzione valuta di copertura esempio in termini di una semplice strategia di copertura valutaria utilizzando le opzioni, si consideri la situazione di un esportatore merci minerarie in Australia, che ha un anticipato, anche se non ancora certo, la spedizione di prodotti minerari destinati ad essere inviato per un ulteriore affinamento per gli Stati Uniti dove saranno venduti per Dollari USA. Potrebbero acquistare un dollaro australiano optionU. S chiamata. Dollaro put option per un importo di valore prevedibile di tale spedizione per la quale avrebbero poi pagare un premio in anticipo. Inoltre, la data di scadenza prescelta potrebbe corrispondere al momento della spedizione era previsto in modo sicuro da pagare per il prezzo pieno e lo sciopero potrebbe essere sia al mercato attuale o ad un livello del tasso di cambio AUDUSD in cui la spedizione sarebbe diventato redditizio per l'azienda . In alternativa, per risparmiare sul costo del premio, l'esportatore poteva acquistare solo un'opzione fuori a quando ogni incertezza circa la spedizione e della sua destinazione era probabile essere rimosso e la sua dimensione è stato destinato a diventare praticamente assicurato. In questo caso, si potrebbe quindi sostituire l'opzione con un contratto a termine per vendere dollari statunitensi e comprare dollari australiani nella dimensione ormai noto della transazione. In entrambi i casi, quando i produttori minerari AUD CallUSD put scadenza o è venduto, tutti i guadagni realizzati su di esso dovrebbero aiutare a compensare variazioni sfavorevoli del prezzo del tasso di cambio AUDUSD sottostante. Altri usi di opzioni opzioni su valute Forex anche fare un veicolo speculativo utile per i commercianti strategici istituzionali per ottenere interessanti profili di profitti e perdite, soprattutto quando gli scambi in vista del mercato a medio termine. Anche i commercianti di forex personali si occupano di dimensioni più piccole possono negoziare opzioni su valute su mercati a termine, come il Chicago IMM, così come attraverso alcuni broker forex al dettaglio. Alcuni broker al dettaglio offrono anche STOP o prodotti trading delle opzioni di pagamento unico che costano un premio, ma offrono una vincita in denaro, se i mestieri di mercato al prezzo di esercizio. Questo è simile a un opzione binaria o digitale valute esotiche. Valuta Stili di opzione e le scelte di esercizio opzioni su valute regolari sono disponibili in due stili di base che si differenziano da quando il titolare può scegliere di utilizzare o esercitare. Tali opzioni sono spesso conosciuti come plain vanilla o opzioni su valute semplicemente vaniglia per distinguerle dalle varietà di opzioni più esotiche trattati in una sezione successiva di questo corso. Lo stile più comune scambiati nel mercato del forex Over-the-Counter o OTC è l'opzione europea-Style. Questo stile di opzione può essere esercitata solo sulla sua data di scadenza fino ad un certo tempo di taglio specifico, di solito 15:00 Tokyo, Londra o New York tempo. Tuttavia, lo stile più comune per le opzioni su future su valute, come ad esempio quelli negoziati in borsa di Chicago IMM, è conosciuto come stile americano. Questo stile di opzione può essere esercitata in qualsiasi momento fino al la data di scadenza. Questa flessibilità di opzioni di stile americano può aggiungere valore in più per il loro premio relativo alle opzioni di stile europeo che è talvolta chiamato il Ameriplus. Tuttavia, l'esercizio anticipato delle opzioni di stile americano di solito ha senso solo per profondità nelle opzioni call soldi sulla moneta alto tasso di interesse, e vendendo l'opzione invece di solito è la scelta migliore nella maggior parte dei casi. Dichiarazione di rischio: Trading Foreign Exchange sul margine comporta un alto livello di rischio e può non essere adatto a tutti gli investitori. Esiste la possibilità che si potrebbe perdere più del vostro deposito iniziale. L'alto grado di leva può funzionare contro di voi così come per you. Pricing e copertura dei FX plain opzioni vanilla Trascrizione 1 Prezzi e copertura dei FX opzioni plain vanilla uno studio empirico sulle prestazioni di copertura di una dinamica di Black-Scholes delta siepe con l'aggiornamento volatilità implicita nell'ipotesi di Heston e Black-Scholes sottostante dinamica, rispettivamente, nel interpolationextrapolation dei prezzi delle opzioni. Jannik Noslashrgaard Master Finanza Relatore: Elisa Nicolato Dipartimento di Studi Aziendali Aarhus School of Business, Università di Aarhus agosto 2011 2 c Jannik Noslashrgaard 2011 tesi è stata digitata con Computer Modern 12pt layout e la tipografia è fatta dall'autore utilizzando LA TEX L'autore Desidero ringraziare i seguenti: il mio supervisore Elisa Nicolato, Ricercatore presso Aarhus School of business del Gruppo Finance Research, Aarhus, Danimarca per un consiglio. Un grazie a Matthias Thul, PhD Candidate in Finanza presso Australian School of Business, New South Wales, Sydney, Australia per rispondere alle domande. Ringrazio le persone che mi ve aiutato ottenere l'accesso ai terminali Bloomberg presso l'Università di Aarhus, nonché i dipendenti al banco di servizio di Bloomberg per rispondere alle mie domande. Infine, grazie a Nordea per avermi fornito l'accesso alla piattaforma Mercati Nordea, Nordea Analytics, da dove io ho dati supplementari raccolti. 3 Voglio cogliere l'occasione per ringraziare i miei genitori per il loro sostegno incondizionato durante i miei anni di studio. 4 Abstract La tesi mostra prove contro l'ipotesi di Black-Scholes di un processo di diffusione per il prezzo di asset di registro che ha stazionarie e indipendenti incrementi normali con una conseguente distribuzione log-normale dei rendimenti delle attività considerando un tempo-serie di cambi in vigore alla EURUSD e il USDJPY che copre un periodo di questi ultimi anni. Le osservazioni di distribuzioni che presentano alta peakness e tailsquot quotfat e osservazioni di volatilità di clustering sono supportate da prove empiriche di eteroschedasticità, il che implica che la volatilità dei rendimenti non è costante nel tempo, e le prove di autocorrelazione. Al fine di calibrare il modello di Heston e il modello di Black-Scholes a prezzi di mercato su opzioni call plain vanilla le offerte più tesi con la specifica dei cambi citando convenzioni e considera la differenza qui tra l'EURUSD e USDJPY. Un insieme di dati di 371 giorni scorsi di negoziazione sono raccolti da citazioni pubblicato su Bloomberg, dove ogni modello è calibrato per una serie di prezzi delle opzioni su ogni giorno per ottenere una bontà complessiva di misura in forma che mostra le prestazioni superiori del modello di Heston. Nel caso di entrambe le coppie FX sottostanti la superficie di volatilità è negativamente skew forma tutto il periodo considerato. Sulla base delle calibrazioni un esperimento di grande copertura scala è impostato dove un certo numero di opzioni call plain vanilla con diverse scadenze e scioperi viene venduto ogni giorno. Un BS Delta siepe dinamica con l'aggiornamento volatilità implicita simulato in ciascuno dei modelli si traduce in una migliore performance di copertura quando le dinamiche alla base segue il modello di Heston. Inoltre si osserva che l'errore di copertura è correlato ai rendimenti sottostanti. 5 Indice Indice Elenco delle figure Elenco delle tabelle I III v 1 Introduzione 1 2 Problema Approccio Dichiarazione di ricerca tasso FX delimitazione L'FX mercato FX opzioni FX contratto a termine il modello di Black-Scholes equazione geometrica browniano Movimento The Black-Scholes La formula di simulazione Garman-Kohlhagen del modello di Black-Scholes fatti empirici la distribuzione di FX torna il modello Heston il processo la soluzione di simulazione dei dati del modello Heston mercato 29 i 6 7.1 Come citare convenzioni Recupero della volatilità implicita descrizione dei dati 35 9 calibrazione dei modelli di edifici la volatilità del mercato implicita Calibrazione superficie del modello di calibrazione Heston dei Black-Scholes modello oggettivo i risultati di calibrazione Funzione studio empirico sulla performance di copertura Dimensioni dei livelli di studio colpire il portafoglio di copertura risultati Conclusione 55 Bibliografia 57 a recuperare il prezzo di esercizio corrispondente ad un premio compreso Delta 60 B costruire il mercato implicita superficie di volatilità 63 C calibrazione del modello Heston 76 D Calibrazione del Black-Scholes modello 82 E simulazione del modello di Heston 85 F simulazione del modello di Black-Scholes 89 G nessuna copertura 92 H dinamica BS Delta Hedge con l'aggiornamento imp. vol. dal Heston modello 97 BS Delta I dinamica Hedge con l'aggiornamento imp. vol. dal modello di Black-Scholes 109 ii 7 Elenco delle figure 5.1 frequenza di campionamento empirica per la frequenza EURUSD campione empirica per il grafico USDJPY QQ per il grafico EURUSD QQ per i ritorni di registro USDJPY giornalieri per i ritorni di registro EURUSD giornaliere per USDJPY autocorrelazione per EURUSD autocorrelazione per volatilità storica USDJPY rotolamento per volatilità storica EURUSD rotolamento per USDJPY una settimana media mobile di kappa una settimana media mobile di theta una settimana media mobile di eta una settimana media mobile di Rho una settimana media mobile dei prezzi VT chiamata 1M su EURUSD 14 prezzi di chiamata 1Y su EURUSD 14 Imp . vol. 1M su EURUSD 14 Imp. vol. 1Y su EURUSD 14 prezzi di chiamata 1M su EURUSD 61 prezzi di chiamata 1A su EURUSD 61 Imp. vol. 1M su EURUSD 61 Imp. vol. 1Y su EURUSD 61 prezzi di chiamata 1M su USDJPY 14 Chiama 1Y su USDJPY 14 Imp. vol. 1M su USDJPY 14 Imp. vol. 1Y su USDJPY 14 prezzi di chiamata 1M su USDJPY 61 Chiama 1Y su USDJPY 61 iii 8 9.20 Imp. vol. 1M su USDJPY 61 Imp. vol. 1Y su USDJPY 61 allo sviluppo nel settore dei tassi spot EURUSD in USDJPY tasso spot iv 9 Elenco delle tabelle 5.1 prova Jarque-Bera su test di normalità Levene s sulla uguaglianza delle varianze, spese comprese Delta Conversione di un spese comprese Delta a Strike media trimestrale e la deviazione standard di la bontà di adattamento dei parametri di Heston media trimestrale e la deviazione standard della bontà di adattamento dei parametri di Black-Scholes valori dei parametri Heston su 142010 e 612010 su valori dei parametri EURUSD Heston su 142010 e 612010 su valori di parametro USDJPY Black-Scholes su 142010 e 612010 su EURUSD e USDJPY Numero opzioni sotto inchiesta Numero di scadenze di opzioni nei periodi trimestrali livello Delta, in media, di cortocircuito opzioni call EURUSD a inizio livello Delta, in media, di opzioni call USDJPY in corto a inizio Numero di opzioni call EURUSD scadenza Numero in-the-money di opzioni call USDJPY scadenza in-the-money l'utile media e la perdita e la deviazione standard dell'errore di copertura con Black-Scholes e Heston prezzi v 10 1 Introduzione in un mondo finanziario che hanno subito crolli del mercato a partire da Lunedi nero nel 1987 l'introduzione oscillazioni estreme di mercato hanno dato luogo alla riconsiderazione dei presupposti per il pricing di strumenti finanziari come le opzioni su titoli e cambi. In passato gli operatori di mercato e gli operatori hanno fatto affidamento più sul modello di Black-Scholes e la sua ipotesi circa rendimenti delle attività mentre oggi i prezzi di mercato delle opzioni non rispecchiano quelli previsti dal modello di Black-Scholes. Invece una famiglia di modelli di volatilità stocastica è emerso, con il modello di Heston è il più noto, con ipotesi più realistiche circa la distribuzione di probabilità dei rendimenti delle attività oggi. Ancora, però, il modello di Black-Scholes sono applicate dagli operatori di mercato e professionisti in elusione che evita i suoi difetti. Questa tesi incorpora l'applicazione di entrambi i tipi di modelli e cerca di scoprire misspecifications prezzi e, in uno studio empirico, indaga se uno è preferibile l'altro dato un ambiente prezzi e copertura specifica. Nel capitolo 3, si parte da una presentazione per il mercato FX e FX opzioni plain vanilla, che sono negoziati over-the-counter (OTC). Questo fatto influenza i dati raccolti per rappresentare i prezzi di mercato, che in questo caso viene recuperato da Bloomberg in cui una superficie di volatilità di arbitraggio libero è segnalato da una raccolta di citazioni di opzione da diversi collaboratori che rappresentano i mondi più grandi istituzioni finanziarie. Come opposto a scambiare opzioni negoziate quotati con scadenza fissa e con l'avvio di nuove opzioni solo in date fisse, da Bloomberg stiamo fornito con un set completo di nuove opzioni di tutti i giorni che copre la stessa gamma di scadenze solo con la scadenza uno giorno dopo rispetto ai giorni precedenti opzioni quotate. 1 11 Capitolo 4 copre la Black-Scholes (BS) e le sue ipotesi su rendimenti delle attività Lognormally distribuiti. Con interesse specifico nella determinazione dei prezzi di opzioni FX vi presentiamo la formula Garman-Kohlhagen, che è una semplice estensione del modello BS. In questo capitolo, inoltre, introdurre il concetto di funzione di densità di probabilità implicita e valutazione neutrale al rischio. Infine presentiamo la simulazione del modello BS. Nel capitolo 5 si analizza la distribuzione dei rendimenti log FX in considerazione un campione di questi ultimi anni i tassi di cambio a pronti e confrontare questo con l'assunzione di rendimenti distribuiti log-normale nel modello BS. I risultati qui ispirano a prendere in considerazione diverse ipotesi sulla distribuzione dei rendimenti di registro, che ci porta ad introdurre un modello di volatilità stocastica nel prossimo capitolo. Capitolo 6 introduce quindi il processo e la soluzione in forma chiusa al modello Heston. Nella calibrazione del modello Heston calibriamo a questa soluzione in forma chiusa per integrazione numerica. Inoltre presentiamo la simulazione del modello Heston che si svolge in un quadro soluzione miscelazione simulato in un regime Milstein. Prima lo studio empirico che presentiamo il capitolo 7, il che spiega la stessa FX specifiche convenzioni citando. Più completo rispetto altri mercati opzionali mercato opzione FX ha una vasta gamma di possibili convenzioni che devono essere manipolato in modo da essere in grado di costruire una superficie volatilità basata sulle quotazioni del mercato. Più in particolare le volatilità sono quotati in strutture commerciali che deve essere convertito. Inoltre le opzioni sono espresse in termini di Delta nella dimensione moneyness. A seconda della convenzione Delta della coppia FX specifico, abbiamo bisogno di usare una tecnica di stima numerica per recuperare il livello di sciopero. Capitolo 8 è costituito da una panoramica dei dati utilizzati nello studio empirico. Nel capitolo 9 abbiamo poi calibrare il modello BS e il modello di Heston per ogni giorno di 371 giorni di borsa nel periodo dal 14 222011. Vi presentiamo la funzione obiettivo e il suo sistema di ponderazione ereditaria che è comune per entrambi i modelli. Abbiamo inoltre analizzare la sensibilità della superficie di volatilità alla variazione nei parametri Heston cercando in due giorni diversi. Anche un confronto tra la capacità dei due modelli per adattare i prezzi di mercato osservati avviene calcolando la bontà di adattamento per ciascun modello. Nel capitolo 10 poniamo la strategia di copertura costituito da un BS Delta siepe dinamica con l'aggiornamento volatilità implicita simulato nel modello BS e simulato nel modello Heston. Più in particolare abbiamo siepe una serie di opzioni di chiamata in cortocircuito con diverse scadenze e livelli di sciopero. Abbiamo poi individuare quali elementi che cambiano il valore del portafoglio di copertura. Infine presentiamo i risultati dello studio che ha confrontato il modello BS come strumento nella interpolationextrapolation dell'aggiornamento 2 12 volatilità implicita al modello Heston confrontando le prestazioni di copertura dello stesso BS Delta siepe. 3 13 2 problema dichiarazione In questo studio si considerano le due coppie FX EURUSD e USDJPY. Iniziamo dalle seguenti domande di ricerca introduttivi: I. Come sono resi FX distribuiti in considerazione un periodo di ultimi anni II. Come funziona la distribuzione dei rendimenti FX confronta con le ipotesi circa rendimenti delle attività distribuite log-normale nel modello di Black-Scholes Come sottolineato da (Reiswich e Wystrup, 2010), la procedura di costruzione sorriso e la volatilità citando meccanismi sono FX specifici e si differenziano significativamente da altri mercati. gli operatori di mercato che entrano nel mercato dei derivati ​​FX OTC si confrontano con il fatto che il sorriso di volatilità di solito non è direttamente osservabile sul mercato. a differenza di altri mercati, il sorriso FX è dato implicitamente come un insieme di vincoli impliciti in strumenti di mercato. Questo ci porta alla domanda: III. Come si fa a gestire la specifica FX citando convenzioni al fine di finire con i prezzi di mercato in opzione plain vanilla. In un recentissimo strategie di carta quotApplying di copertura per la stima del rischio di modello e disposizione calculationquot (Elices, 2011) Gli autori dello studio delle prestazioni di copertura del modello di BS e il metodo di Vanna-Volga assumendo che la superficie di volatilità del mercato è guidato da dinamiche Heston s calibrate al mercato per un dato orizzonte temporale. La strategia di copertura viene poi costruito al fine di neutralizzare i fattori di incertezza nel modello Heston che consistono dello spot e la volatilità. Allo stesso modo, possiamo contare su un modello di costruzione dipendente della superficie volatilità calibrazione del modello BS e il modello Heston, rispettivamente, ai prezzi di mercato osservati. 4 14 IV. In che misura il modello di Black-Scholes e Heston rispettivamente, riflettono una serie di prezzi di mercato sulle opzioni plain vanilla su un periodo recente Poi usiamo queste calibrazioni al fine di indagare come pure una strategia di copertura Delta puro, con il Delta calcolato come BS Delta, è in grado di replicare la vincita di una vaniglia FX contratto di opzione call pianura. Creiamo un ambiente dove una serie di opzioni FX plain vanilla europei con diverse scadenze e scioperi sono venduti ogni giorno per un periodo di 371 giorni di negoziazione. Da Delta copertura per ciascuna contratto di opzione singolarmente fino alla sua scadenza, si ottiene l'errore di copertura che esprimiamo come la differenza tra il payoff del contratto di opzione e il portafoglio di copertura. Due esperimenti sono impostati in cui si calcola il Delta BS dinamicamente con una volatilità aggiornamento del modello di Black-Scholes e una volatilità aggiornamento implicita dal modello Heston. Questo porta a delle domande di ricerca finale: V. L'applicazione di una dinamica BS Delta siepe con l'aggiornamento volatilità implicita sotto l'ipotesi di Black-Scholes dinamiche sottostanti, che cosa è la deviazione standard dell'errore di copertura per ogni VI contratto di opzione. L'applicazione di una dinamica BS Delta siepe con l'aggiornamento volatilità implicita nell'ipotesi di Heston dinamiche sottostanti, qual è la deviazione standard dell'errore di copertura per ogni VII contratto di opzione. Sono il risultato della copertura correlato con il rendimento di mercato Approccio 2.1 Research Segnaliamo e sosteniamo per la nostra scelta di approccio alla ricerca in tre aree della tesi: L'inclusione di due diverse coppie FX, la costruzione della superficie volatilità implicita e la gamma dell'opzione prezzi utilizzati per costruire la superficie volatilità implicita. Abbiamo scelto di includere sia l'EURUSD e USDJPY nello studio a causa principalmente di una ragione. Le convenzioni citando per le due coppie sono diverse e includendo sia noi che mostrano come gestire queste diverse convenzioni di quotazione. In aggiunta a questo, la superficie di volatilità di queste due coppie ha storicamente avuto forme differenti con l'EURUSD esibendo più di un sorriso simmetrica e USDJPY presentante una inclinazione passo (Bossens, rayée, Skantzos e Deelstra, 2010), (Beneder e Elkenbracht - Huizing, 2003), (Chalamandaris e Tsekrekos, 2008). Come altri studi questo è un tentativo di coprire un diverso insieme di condizioni di mercato (Bossens, rayée, Skantzos, e Deelstra, 2010). 5 15 Calibriamo di dati grezzi in cui non interpolazione o estrapolazione ha avuto luogo in precedenza. In alternativa avremmo potuto usare una parametrizzazione SVI (Gatheral, 2006) o qualche altra forma funzionale per costruire prima la superficie e quindi calibrare ad una serie di prezzi interpolatedextrapolated. Calibriamo solo a pochi serie di opzioni di conteggio 5 diverse scadenze e 5 diversi livelli di sciopero. Ciò avviene per due motivi. In primo luogo, vogliamo calibrare solo ai dati grezzi, che non è ancora stata interpolata in proprio schema di interpolazione Bloomberg s, che può essere visto in (Bloomberg, 2011). Bloomberg s interpolazione è basata su ATM, 25 Delta e 10 citazioni Delta e se disponibile anche e 5 Delta (Bloomberg, 2009). Questo fatto ci assicura che calibrare solo ai dati grezzi. In secondo luogo, un grande sforzo è stato fatto per lo sviluppo di metodi che sono in grado di costruire la superficie volatilità implicita completa con solo alcune serie di prezzi delle opzioni (Malz, 1997), (Castagna e Mercurio, 2006), (Reiswich e Wystrup, 2010). In un mercato un'opzione OTC, spesso solo pochi prezzi è disponibile e ci vogliono limitare questo studio per includere solo i prezzi che sono più spesso disponibili. Questa tesi utilizza la stessa gamma di prezzi delle opzioni dalla stessa fonte come in U. Wystrup e D. Reiswich s articolo quotFX Volatilità Sorriso Constructionquot (Reiswich e Wystrup, 2010) utilizzando il bancomat, 10D RR, 25D RR, 10D VWB e 25D citazioni VWB pubblicati su Bloomberg. 2.2 delimitazione La tesi è limitato in aree dove aggiunte porterebbe maggiore accuratezza e dettaglio nello studio. Al fine di testare un modello di pricing per i suoi misspecifications un esperimento di copertura classica come quella effettuata in (Bakshi, Cao, e Chen, 1997) e (Elices, 2011) potrebbe essere fatto. Qui, si prova un modello s capacità di replicare un payoff opzione assumendo posizioni in tutti gli impianti necessari a neutralizzare il rischio con quel numero a seconda sul presupposto di un dato modello di pricing. Per il modello Heston questo implica prendere una posizione nell'opzione sia sottostante, e un altro in modo da ottenere una copertura delta-neutrale. In questa tesi ci limitiamo a prendere solo una posizione in un bene, il sottostante. Quindi, questo studio non può essere classificato in questo tipo di approccio convenzionale. L'impostazione di tasso di interesse in questo studio è semplificata. Non c'è stata alcuna costruzione di una struttura a termine dei tassi di interesse da utilizzare nella simulazione delle pricing delle opzioni 6 16 modelli. Né abbiamo preso in considerazione modelli di pricing delle opzioni con tassi di interesse stocastici come in (Bakshi, Cao, e Chen, 1997). Anche noi trascuriamo il tema del rischio di insolvenza dei tassi di interesse, che è un tema caldo oggi, dopo le crisi finanziarie correnti. Nessun modello di salto è stata considerata come una volatilità stocastica più salto nel modello sottostante (SVJ). Questi tipi di modelli sono meglio a riflettere la superficie di volatilità nel breve termine rispetto a un modello di volatilità stocastica (Gatheral, 2006). Considerando le due coppie FX inclusi in questo studio, e la forma delle rispettive superfici di volatilità, un modello SVJ potrebbe anche non essere in grado di migliorare la vestibilità prezzo rispetto ad un stocastico vol. modello. I ricercatori sottolineano un necessario adeguamento della citazione volatilità sui mercati inclinate steply (Reiswich e Wystrup, 2010), (Bossens, rayée, Skantzos, e Deelstra, 2010), (Castagna, 2010). Circa le convenzioni citando sul mercato opzione dei cambi e l'importanza della regolazione specifica della citazione Vega farfalla ponderata (VWB), si dice quanto segue. una incongruenza mercato che può tranquillamente essere ignorata in molte situazioni e configurazioni di prezzi, ma può avere un profondo impatto sulla costruzione superficie di volatilità in altri. (Castagna, 2010, p. 116). Abbiamo escluso le stime di un tale aggiustamento. Probabilmente il limite più importante di questo studio è il numero di simulazioni utilizzate. Ciò riguarda la simulazione del modello Heston e il modello BS nell'esperimento copertura impostato. La precisione della tariffazione nel modello Heston potrebbe essere migliorata aumentando il numero di simulazioni, con conseguente prestazioni ancora migliori copertura, assumingly. 7 17 3 La FX mercato 3.1 FX tasso di un tasso di cambio (tasso FX) è il prezzo di una valuta in termini di un'altra valuta. Le due valute fanno una coppia di valute. A titolo di esempio, questo potrebbe essere la coppia di valute EURUSD etichettati. Questo è il tasso di cambio di dollari eurous ed entro la fine del giorno di mercato il 1 ° di maggio 2011 questo è stato quotato a Questa è la convenzione su come citare questo particolare croce moneta, ma è equivalente a USDEUR. che è solo il valore reciproco del primo tasso FX. L'EURUSD tasso di cambio indica quanti dollari valgono 1 euro. Il domestico (numerario) valuta è il dollaro statunitense e lo straniero (base) moneta è l'euro. Quindi in generale, il tasso di cambio è il prezzo della valuta di base in termini di moneta numerario. L'ultima volta che un dollaro valeva più di un euro era al 4 ° del dicembre 2002 in quale giorno il tasso di cambio è stato citato in Dal momento che dopo l'introduzione delle monete e banconote in euro il 1 ° gennaio 2002 tale è stato l'unico anno in cui il dollaro USA è stato del valore di oltre l'euro, che si riflette in un tasso di cambio meno di FX contratto a termine il contratto a termine prevede una copertura per qualcuno che vuole bloccare il tasso di cambio per una transazione futura. L'acquirente di un contratto a termine viene poi garantito un tasso di cambio futuro. Il prezzo a termine è deciso come F 0 S 0 e (rd r f) T (3.1) 8 18 l'attività sottostante a tali contratti è un certo numero di unità della valuta estera. La variabile s 0 è definito come il prezzo a pronti in valuta locale di una unità della valuta estera e equivalentemente F 0 è il prezzo a termine in valuta nazionale di una unità della valuta estera. Entrambi i tassi di interesse nazionali ed esteri sono i tassi di interesse risk-free composto continuo per anno di tasso di interesse di parità Equazione 3.1 è esattamente la parità di tasso di interesse, che nella sua forma capitalizzazione continua è spesso identificata come T F (t, T) S TE RF ( t) e rd (T t) (3.2) o dalle sue convenzioni del mercato monetario per la capitalizzazione e attualizzazione, cioè semplice compounding (Castagna, 2010, p. 7) F (t, T) S t (1 RF) (T t) (1 rd) (T t) (3.3) dove rf e RD sono i tassi di interesse privi di rischio annuo e (Tt) segue la convenzione di tempo di 360 giorni di negoziazione in un anno. Secondo la parità di tasso di interesse, il tasso di cambio a termine di una data coppia di valute è determinato dai rispettivi tassi di interesse privi di rischio. Come esempio, consideriamo un titolare di una unità di valuta estera. Ci sono due modi in cui questo può essere convertito in moneta nazionale al tempo T. Uno è investendo per (T t) anni a R f e, allo stesso tempo la vendita di un contratto a termine. Poi al tempo T si sarebbe obbligato a vendere i proventi dell'investimento di raccogliere valuta nazionale. L'altra possibilità è di scambiare la valuta estera nazionale nel mercato a pronti e quindi investire questi a r d per (T-t) anni. In assenza di opportunità di arbitraggio equazione 3.4 dovrebbe quindi tenere (Hull, 2008, p. 113), che è esattamente equazione 3.2 riscritto. e RF (T t) F 0 S 0 e Rd (T t) (3.4) La parità di tasso di interesse qui presentata è chiamata anche la parità di tasso di interesse coperto come opposta alla parità di tasso di interesse scoperta (Oldfield e Messina, 1977). Il primo deriva dal fatto che la strategia di trading è senza rischi. Questo si trova di fronte a quest'ultimo dove in qualità di titolare della valuta estera ancora investire in RF, ma invece 9 19 di entrare simultaneamente in un contratto a termine, si mantiene invece la vostra posizione in valuta estera scoperto ed esposto al movimento del tasso di cambio da t (T t). La ricerca empirica mostra che per i paesi sviluppati, la parità di tasso di interesse coperto tiene abbastanza bene. Prima lo smantellamento dei controlli sui capitali, e in molti mercati emergenti oggi (interpretato come rischio politico associato alla possibilità di autorità governative che prevedono restrizioni sui depositi situati in diverse giurisdizioni), la parità di tasso di interesse coperto è improbabile che tenere (Chinn, 2007) . Da un punto di valutazione delle opzioni di vista della parità di interesse coperta è un assunto di base in uno dei modelli di pricing delle opzioni introdotte in seguito qui. 3.3 FX opzioni di opzioni FX sono negoziati Over-The-Counter (OTC) come opposto a scambiare opzioni negoziate. Come una piattaforma di trading uno scambio funge da collegamento tra un acquirente e un venditore. Lo scambio sarà fornendo quotazioni bid e ask e sarà su una o l'altra estremità della transazione. La realizzazione mercato è in questo caso effettuato dalla borsa. Nel caso di opzioni FX non c'è scambio coinvolto nella transazione. Un commercio saranno trattati direttamente tra acquirente e venditore. In un ambiente, si potrebbe pensare ad un acquirente di essere una società che sta operando da una copertura o un punto di vista speculativo e il venditore di essere una banca. Sul mercato delle opzioni FX si potrebbe pensare delle banche come market maker che fornisce i prezzi su opzioni e altri derivati ​​FX. Al fine di coprire l'esposizione in valuta estera opzioni FX sono un'alternativa ai contratti a termine FX. Il profitto da una posizione lunga su una call europea è max (s TK, 0) (3,5) e la vincita da una posizione lunga in una put europea è max (k ST, 0) (3.6) con ST è il posto tasso di cambio alla scadenza T dell'opzione e K il concordato prezzo di esercizio. 10 20 Supponendo che abbiamo la coppia EURUSD, due controparti entrare in un plain vanilla FX contratto di opzione può essere d'accordo su quanto segue, a seconda del tipo di opzione scambiati: tipo di chiamata EUR USD put: L'acquirente ha il diritto di entrare alla scadenza in un contratto spot di acquistare (vendere) il valore nozionale di euro (USD), a livello di tasso FX sciopero K. Tipo EUR mettere USD chiamata: l'acquirente ha il diritto di entrare alla scadenza in un contratto spot a vendere (comprare) il nozionale importo di EUR (USD), a livello di tasso FX sciopero K. Considerando, ad esempio, l'ultimo tipo sopra elencati, una società americana a causa di ricevere euro in un tempo noto in futuro può coprire il rischio con l'acquisto di opzioni put su euro che maturano in quel momento. Questa strategia garantisce che il valore degli euro non sarà inferiore al prezzo di esercizio, pur consentendo alla società di beneficiare di eventuali movimenti al rialzo favorevole del tasso di cambio. Allo stesso modo, se la società in cui a pagare euro in futuro si potrebbe coprire il loro esporre ai movimenti al rialzo del tasso di cambio con l'acquisto di chiamate in euro, il primo tipo sopra elencati. considerando che i contratti a termine blocca del tasso di cambio per una transazione futura e garantisce alle parti un tasso di cambio, come descritto in precedenza, l'opzione fornisce un tipo di assicurazione. Non costa nulla per entrare in un contratto a termine, mentre le opzioni richiedono un premio da versare pagati in anticipo, al fine di essere assicurati. 11 21 4 Il modello di Black-Scholes Questo capitolo esamina il più noto modello di pricing opzione, il modello di Black-Scholes (Black e Scholes, 1973), a causa della sua inclusione nello studio empirico. Inoltre resta il blocco di costruzione di modelli di pricing delle opzioni presenti, tra cui il modello di Heston e il modello Bates. 4.1 geometrico browniano movimento di Black-Scholes assume il prezzo spot sottostante per seguire geometriche generatrici di moto browniano rendimenti log-normalmente distribuite, il prezzo spot in questo caso è il tasso di cambio in un dato coppia FX. Il processo è stocastico, includendo un processo di Wiener che introduce la casualità al prezzo spot. ds t micros t dt sigma t DW S t (microdt sigmadw) (4.1) Il prezzo spot S t dipende S t per sé, una deriva costante, micro, un termine costante volatilità, Sigma, e un processo di Wiener standard W t, dove DT è che denota una differenza di tempo. Per ottenere la soluzione esplicito a questa equazione differenziale stocastica (SDE) consideriamo equazione 4.2 il processo di tronchi, cioè il processo che descrive i log-rendimenti. dlogs t (micro 1 2 sigma2) dt sigmadz (4.2) ovvero tronchi da T 0 (micro 1 2 sigma2) T sigmadz (4.3) 12 22 e la soluzione esplicita si ottiene poi prendendo il esponenziale di tronchi STS 0 e (micro 1 2 sigma2) T sigmaz T (4.4) 4.2 l'equazione di Black-Scholes con lo studio empirico di questa tesi in mente che abbiamo uno sguardo alla derivazione della equazione di Black-Scholes (BS), che governa la formula opzione di BS prezzi. Questo ci dirà il principio del delta hedging. Inoltre diamo uno sguardo alle necessarie modifiche al equazione Black Scholes al fine di essere in grado di opzioni FX prezzo in particolare. Come nota non è nell'interesse di questa tesi per passare attraverso la derivazione della soluzione dell'equazione BS che porterà alla formula BS. L'equazione di Black-Scholes può essere derivata in molti modi alternativi cioè utilizzando le teorie finanziarie empiricamente affermati come la teoria prezzi CAPM e arbitraggio. La derivazione più generale assume una economia con la sola attività sottostante e un mercato monetario titolo privo di depositrisk privo di rischio che insieme compongono il portafoglio replicando del valore del derivato. Nel frattempo, la derivazione originale utilizza ciò che è noto come l'argomento di copertura, e che è la derivazione che ci illustrerà qui (Rouah, 2011). La derivazione Da imponendo la condizione che un portafoglio privo di rischio costituito da una posizione nell'attività sottostante e l'opzione su quel bene deve restituire lo stesso tasso di interesse, come le altre attività prive di rischio. Come risultato di questo Black e Scholes proporre che se è possibile coprire una posizione di opzione riequilibrando in modo dinamico una posizione di magazzino, quindi il prezzo di un'opzione call europea dovrebbe dipendere dal prezzo spot sottostante, S t (cioè il tasso FX) , e il tempo di scadenza dell'opzione, T. al fine di eseguire una tale copertura di Black e Scholes assume una serie di condizioni per ritenere che essi chiamano la condizione di mercato ideale: il tasso FX, S t, segue il moto browniano geometrico con noto deriva costante, micro, e la volatilità, Sigma. L'opzione può essere esercitata solo alla scadenza. Trading avviene continuamente nel tempo. Il denaro può essere preso in prestito e prestano allo stesso tasso di interesse privo di rischio. La vendita allo scoperto è permesso. 13 23 tassi di interesse privi di rischio a breve termine (r d e r f) sono noti e costante. L'attività sottostante non paga dividendi. (Questa ipotesi è rilassato in caso di opzioni FX.) Consideriamo un portafoglio costituito da una quantità del bene a rischio (cioè la coppia FX) e breve una opzione sulla coppia FX (una put o call, non ancora specificato ). Sia f (s, t) il valore dell'opzione e Pi (t) il valore del portafoglio. Pi (t) S f (s, t) (4.5) viene scelto in ogni tempo t in modo da rendere il portafoglio privo di rischio. L'ipotesi di autofinanziamento implica che dpi (t) ds df (s, t) (4.6) al fine di decidere la quantità di soddisfare questa condizione vogliamo conoscere le dinamiche di F (s, t). Qui usiamo Ito s Lemma, che è una regola per il calcolo dei differenziali di quantità che dipendono processi stocastici. df (s, t) ff dt t S ds sigma2 S 2 2 f dt (4.7) S2 e collegando 4.7 in 4.6 otteniamo ds dpi (ff dt t S ds sigma2 S 2 2 f S) dt 2 (F) ds ( f S t sigma2 S 2 2 f )dt (4.8) S2 observing that the term ds is the only risky element to the portfolio value, we can eliminate this by setting which is satisfied if ( f S ) 0 f S (4.9 ) Then we have constructed a risk-free portfolio with the dynamics given in the last part of 4.8 and by a no arbitrage argument the portfolio must yield the risk-free interest rate, ie 14 24 dpi rpidt (4.10) Plugging the risk-free dynamics of the option value in 4.8 and the first equation 4.5 into 4.10 and rewrittin, we get the BS equation in ( ft sigma2 S 2 2 ff )dt r( S f(s, t))dt S2 S ft 1 2 sigma2 S 2 2 ffr( S f(s, t)) S2 S ft sigma2 S 2 2 f S rf S rf 0 (4.11) 2 S The derivation stipulates that in order to hedge the single option, we need to hold a quantity of the FX pair, which turns out to be the quantity f. This is the S principle behind delta hedging. Any price of a derivative with the same assumed process for the underlying as in equation 4.1 has to follow the BS equation. the equation has many solutions for the derivative price, f, where the particular price that is obtained depends on the payoff function of the given derivative. In the case of a European callput the solution is obtained in the BS formula, but for more complex payoff functions accompanied by more exotic options the analytical solution may be hard to obtain. 4.3 The Garman-Kohlhagen formula In the same year 1973 as the Black and Scholes paper was published the pricing model was quickly adjusted to include dividend paying stocks by Merton (1973). Robert C. Merton further concludes in this paper that the assumption of lognormally distributed returns and continuous trading is critical to the model. Without these, the delta hedge would not give a perfect hedge, thus making the arbitrage argument invalid. Many years later after the FX options was first listed on the Philadelphia Stock Exchange in 1982 (Exchange, 2004), the pricing model was adjusted to also be able to price FX plain vanilla options (Garman and Kohlhagen, 1983). Under similar assumptions as in Black-Scholes, that it is possible to operate a perfect local hedge between a FX option and underlying foreign exchange, Garman and Kohlhagen derive a PDE. One of the insights is that the risk-free interest rate of foreign currency r f has the same impact on the FX option price as the continuous dividend yield on the stock option. The main contribution is to combine the Black-Scholes model with the interest rate parity theory, as presented in the 15 25 beginning of this thesis. More precisely, by assuming the covered interest rate parity to hold and the underlying FX rate to follow a geometric brownian motion, the logarithmic difference between the forward, F (t, T ), and the spot, S(t), FX rates can be explained by the spread between the domestic risk-free interest rate, r d, and the foreign risk-free interest rate, r f. The resulting pricing formula for a call option in equation 4.12 is presented in its forward rate form, where the forward rate is explicitly present in the formula. This is a Black model (Black, 1976) (adjusted to price FX options), which is a variation of the original BS model and can be generalized into a class of models known as log-normal forward models. The adaption of the covered interest rate parity into the option pricing formula becomes apparent when we compare the calculation of the forward rate in Equation 4.12 to Equation 3.2. c e rd (t, t )tau) F (t, T )phi(d 1 ) Kphi(d 2 ) (4.12) d 1 F (t, t ) ln( ) 1 K 2 sigma2 tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau F (t, T ) S t e rf (t, t )tau e rd (t, t )tau with the the equivalent spot rate form of the Garman-Kohlhagen formula c S 0 e rf (t, t )tau phi(d 1 ) Ke rd (t, t )tau phi(d 2 ) (4.13) d 1 ln( S 0 K ) (rd (t, T ) r f (t, T ) sigma2 )tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau The foreign and domestic interest rates are risk-free and constant over the term of the option s life. All interest rates are expressed as continuously compounded rates Implied Probability Density Functions In order to establish a link between the observed option prices in the market and the characteristic shapes of the volatility surface we mention the implied risk-neutral density function (RND). 16 26 The RND in the Black-Scholes model is assumed to be lognormal with mean (r d r f v 2 2)(T t) and variance v 2 (T t). The price of an undiscounted call option is given by C(S 0, K, T ) Emax (4.14) K (s K) phi(s T, S 0 )ds (4.15) where phi(s T, S 0 ) in (4.15) is the probability density function of S T. This is a general pricing formula independent of the choice of pricing model. Pricing an option in this framework requires the knowledge of the probability density function, which is the distribution of the future spot prices. (Breeden and Litzenberger, 1978) found that provided a continuum of European call options with same maturity and a strike range going from zero to infinity written on a single underlying FX pair, we can recover the RND in a unique way by differentiating (4.15) with respect to K twice Risk-neutral valuation C K phi(s T, S 0 )ds (4.16) K 2 C K phi(s T, S 0)ds (4.17) 2 Another approach to find the price of a derivative is by risk neutral valuation or equivalently by the Martingale approach. The equivalence between the PDE approach and the risk neutral valuation is guaranteed by Feynman-Kac by establishing a link between PDEs and stochastic processes. The solution to the Garman-Kohlhagen equation can also be expressed in terms of an expectation. By the Feynman-Kac theorem we have V (S t, t) E Q e T t rs dds V (S T, T ) (4.18) where S t is the solution to the SDE (4.1) with micro r d r f. The drift is risk neutral and consists of the continuously compounded domestic interest rate net of the foreign interest rate. What (4.18) says is that the value of a contingent claim (a claim that is dependant on the underlying value) like a European option, can be calculated by finding the risk neutral expectation of the discounted terminal payoff. The terminal payoff is discounted by the domestic interest rate and the risk neutral 17 27 expectation and the Q measure involves the process of S T to evolve not as original but risk neutrally. To recapitulate the general pricing framework above, there is a connection between the existence of a replication portfolio replicating the final value of the option, and the existence of a equivalent martingale measure. They both guarantee an arbitrage-free price. This can be calculated as the current value of the replication portfolio, or as the expected value of the discounted terminal payoff of the option calculated under the risk-neutral probability measure. 4.4 Simulation of the Black-Scholes model We consider the risk neutral process in Equation (4.19) and compute the risk neutral expectation of the terminal payoff as suggested by the Feyman-Kac theorem. ds t (r d t r f t )S t dt sigma t S t dw (4.19) 18 28 5 Empirical facts 5.1 The distribution of FX returns Empirically we observe a departure from the normality assumption in the Black - Scholes model when we have a look at the distribution of log returns on EURUSD and USDJPY. In figures 5.1 and 5.2 the frequency distributions of two samples of daily log returns from 162006-532011 is pictured. A lognormal distribution with the same mean and standard deviation as the implied distribution is depicted by the solid line. The empirical distributions are highly peaked compared to the normal distribution. Furthermore from figures 5.3 and 5.4, which depict a Q-Q plot of the log returns vs. a normal distribution, we can observe that the empirical distributions of log returns does in fact exhibit fat tails and clearly deviates from the normality assumption. From the visual evidence of a highly peaked and fat tailed distribution (leptokurtic), we can conclude that small and large movements in the empirical samples occur more likely compared to normally distributed log returns. By looking at figures 5.5 and 5.6, where we plot the daily log returns of EURUSD and USDJPY, we see that large moves follow large moves (both up and down) and small moves follow small moves (both up and down). This is the so-called volatility clustering, where we observe that high and low volatility is clustered around certain time periods. This observation indicates autocorrelation, which is confirmed in Figures. -. Here the autocorrelations of absolute returns are estimated where all lags included is significantly positive. In addition to this, Figures 5.9 and 5.10 demonstrates mean reversion in the log returns by showing how volatility evens out when measured over a longer horizon. 19 29 Sample frequency Daily log - return EURUSD Sample frequency Daily log - return USDJPY Figure 5.1: Empirical sample frequency for EURUSD Figure 5.2: Empirical sample frequency for USDJPY 0.04 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 0.06 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Quantiles of Input Sample Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Standard Normal Quantiles Figure 5.3: Q-Q plot for EURUSD Figure 5.4: Q-Q plot for USDJPY Daily log return 0.06 EURUSD Year Daily log return 0.06 USDJPY Year Figure 5.5: Daily log returns for EU - RUSD Figure 5.6: Daily log returns for USD - JPY Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Lag Lag Figure 5.7: RUSD Autocorrelation for EU - Figure 5.8: Autocorrelation for USD - JPY 20 30 Historic vola, lity 0.3 EURUSD Year 3 month 1 year Historic vola, lity 0.35 USDJPY Year 3 month 1 year Figure 5.9: Rolling historic volatility for EURUSD Figure 5.10: Rolling historic volatility for USDJPY Jarque-Bera To confirm our results and to find further evidence against the normality assumption underlying the Black-Scholes model we make use of the Jarque-Bera test (Jarque and Bera, 1987). Based on the sample kurtosis and skewness we test the null hypothesis that the data is drawn from a normal distribution. The null hypothesis is a joint hypothesis of the skewness being 0 and the excess kurtosis being 0, which in the latter case is the same as a kurtosis of 3. The overall conclusion by looking into tabel 5.1, when considering the full sample of log returns, is that we clearly reject the null hypothesis, that the sample data is from a normal distribution, in both the EURUSD and USDJPY case. This conclusion comes with a high degree of certainty with a significance level below 0.1. When we then have a look at the separate years considering first the EURUSD, we are able to reject in 3 out of 6 years at a significance level of 5.0, whereas for the USDJPY case this is 4 out of 6 years. When looking into the estimates of the overall skewness and kurtosis and comparing the two pairs, one observes that in terms of skewness the EURUSD deviates the most from a normal, whereas in terms of kurtosis it is the USDJPY that deviates the most from the normal. These differences in skewness and kurtosis between the two pairs is somewhat visual in figures 5.1 and 5.2 from before. Comparing the tails of the frequency distributions one might see that the EURUSD log returns has a longer right tail exhibiting more positive skewness whereas the USDJPY log returns has a longer left tail exhibiting more negative skewness (Even though apparently not enough for the full sample to be negatively skewed). Both distributions though are on an overall scale slightly positively distributed meaning that most values are concentrated on the left of the mean, with extreme values to the right (as opposite to negatively skewed distributions, where most values are concentrated on the right of the mean, with extreme values to the left). The difference in the kurtosis of the two pairs of log returns is also somewhat visual from the figures 5.3 and 5.4 from before, where the USDJPY 21 31 EURUSD Table 5.1: Jarque-Bera test on normality USDJPY period skewness excess kurtosis JB sign. level skewness excess JB sign. level gt lt 0.100 lt 0.100 lt 0.100 gt lt 0.100 gt lt 0.100 lt 0.100 log returns seems to exhibit the most kurtosis. The test statistic JB is defined as JB n 6 (S K2 ) (5.1) where n is the number of observations, S is the sample skewness in Equation 5.2 and K is the sample excess kurtosis in Equation 5.3. S circmicro 3 circsigma 3 1 n n i1 (x i x) 3 ( 1 n n i1 (x i x) 2 ) 3 2 (5.2) K circmicro 4 circsigma 4 3 1 n ( 1 n n i1 (x i x) 4 n i1 (x i x) 2 ) 3 (5.3) 2 where circmicro 3 and circmicro 4 are the estimates of the third and fourth central moments, respectively, x is the sample mean and circsigma is the estimate of the second central moment, the variance. 22 32 5.1.2 Levene Excess kurtosis might indicate heteroscedastic returns, where homoscedastic returns is the assumption underlying the Black amp Scholes model. We therefore perform the Levene s test of homoscedatic returns, where the null hypothesis is that the variance of two successive subsamples are equal as well as the variances of all subsamples. Considering the latter we strongly reject the hypothesis that the variance in the subsamples are constant thus violating the assumption in the Black Scholes model. Comparing the individual successive yearly subsamples, in the case of the EURUSD we are able to reject in 2 out of 5 cases at a significance level of 5. In the case of the USDJPY this is 4 out of 5 cases in correspondence with the superior excess kurtosis compared to the EURUSD case. Table 5.2: Levene s test on equality of variances EURUSD USDJPY period 1 period 2 volatility 1 volatility 2 Levene sig. level volatility 1 volatility 2 Levene sig. level 6.16 0.859 7.83 9.62 1.244 13.78 0.000 9.62 16.18 0.000 12.03 9.691 16.18 12.68 1.659 11.76 12.68 10.36 2.458 9.85 7.890 10.36 9.87 0.000 23 33 6 The Heston model The most well-known and popular of all stochastic volatility models is the Heston model (Gatheral, 2006) and was presented in (Heston, 1993). 6.1 The process The process followed by the underlying asset in the Heston model is with ds t micros t dt v t S t dw (1) t (6.1) dv t kappa(v t theta)dt eta v t dw (2) t (6.2) dw (1) t dw (2) t rhodt where kappa is the rate of reversion of v t to the long run variance, theta, eta is the volatility of volatility and rho is the correlation between the two stochastic increments of the processes dw (1) t and dw (2) t. The process of the underlying in (6.1) is the same process assumed in the Black Scholes model presented in (4.1) only now the volatility is stochastic. That is, another random factor is introduced by dw (2) t. What defines the specific process of the underlying in the Heston model compared to the general case of stochastic volatility models is dv t alpha(s t, v t, t)dt etabeta(s t, v t, t) v t dw (2) t (6.3) alpha(s t, v t, t) kappa(v t theta) beta(s t, v t, t) 1 24 34 where the process followed by the instantaneous variance, v t, can be categorized as a version of the square root process (CIR) in (Cox, Ingersoll Jr, and Ross, 1985). Given that the Feller condition in equation (6.4) is satisfied the variance process is always strictly positive. (Anderson, 2005) shows that this condition is often violated when calibrating the Heston model to market data. 2kappatheta eta 2 (6.4) What makes the Heston stochastic volatility model stand out from other stochastic volatility models can be adressed to two reasons. First, the volatility process is non-negative and mean reverting which is what we observe in the market. Secondly, The Heston model has a semi-analytical closed form solution for European option, which is fast and relatively easy to implement. The closed form solution is especially useful when calibrating the parameters in the model to the observed vanilla option market. This efficient computational ability of the model is characterised as the greatest advantage of the model over other potentially more realistic SV models (Janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). Furthermore, after adapting the model to a FX setting, the model is described as being particular useful in explaining the volatility smile found in FX markets often characterised by a more symmetrical smile when comparing to equity markets where the structure is a strongly asymmetric skew as a consequence of the leverage effect on these markets(janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). 6.2 The solution The PDE of the Heston model can be derived using the same approach as when we derive the PDE for the BS model where standard arbitrage arguments is used. In addition to the replication portfolio used to derive the BS model another asset in the form of an option is added in order to hedge the randomness introduced by the stochastic volatility. The following PDE can then be derived V t vs2 2 V S 2 rhoetavs 2 V v S eta2 v 2 V v 2 V rs S rv V v 0 (6.5) where lambda(s, v, t) is the market price of volatility risk. The closed-form solution of a European call option on an FX pair for the Heston model is S t P 1 Ke (r d r f )(T t) P 2 (6.6) 25